Вариант от 20.05.17, задача №2.

Условие:

Известно, что \(a_0 + \frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{3} + \cdots + \frac{a_n}{n + 1} = 0\). Докажите, что многочлен \(a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n\) имеет хотя бы один корень.

Решение:

\(p(x) := a_0x + \frac{a_1x^2}{2} + \frac{a_2x^3}{3} + \cdots + \frac{a_nx^{n + 1}}{n + 1}\).

\(p(0) = 0\), \(p(1) = 0\) (по условию) и \(p(x)\) дифференцируема на \((0, 1)\). Значит, по теореме Ролля \(\exists\ x^* \in (0, 1): p'(x^*) = 0\).

\(p'(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n\). Это и есть тот многочлен, существование корня которого требовалось доказать.
\(\blacksquare\)