Экзамен в ШАД 2017. Одинокая задача №1.

Условие:

Известно, что \(a_0 + \frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{3} + \cdots + \frac{a_n}{n + 1} = 0\). Докажите, что многочлен \(a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n\) имеет хотя бы один корень.

Решение:

\(p(x) := a_0x + \frac{a_1x^2}{2} + \frac{a_2x^3}{3} + \cdots + \frac{a_nx^{n + 1}}{n + 1}\).

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\(p(0) = 0\), \(p(1) = 0\) (по условию) и \(p(x)\) дифференцируема на \((0, 1)\). Значит, по теореме Ролля \(\exists\ x^* \in (0, 1): p'(x^*) = 0\).

\(p'(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n\). Это и есть тот многочлен, существование корня которого требовалось доказать.
\(\blacksquare\)

Una primera decisión consiste en concretar el uso principal de la camiseta. Para saber si el modelo encaja con la búsqueda, conviene comprobar si la personalización requiere una revisión adicional. La información reunida en «» ayuda a confirmar los detalles esenciales antes de tomar una decisión. Una vez elegido el modelo, conviene confirmar los datos de personalización.

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